おととい 帰納 法

おととい 帰納 法

2022年2月1日よりご案内の通り、Yahoo! JAPANは欧州経済領域（EEA）およびイギリスのお客様に継続的なサービス利用環境を提供することが困難であるとの判断から、以下の「2022年4月6日 (水)以降もご利用可能なサービス」に記載のサービスを除き、2022年4月6日 (水) 以降EEAおよびイギリスからはサービスをご利用いただけなくなりました。 なお、お客様が日本国内でYahoo! JAPANサービスをご利用になる場合は、引き続き全てのサービスをご利用いただけます。 お客様にはご不便をおかけいたしますことを深くお詫びいたします。 ※欧州経済領域（EEA）加盟国についてはこちら（外部サイト）をご覧ください。 2022年4月6日 (水) 以降もお客様の地域からご利用可能なサービス

From Wednesday, April 6, 2022, Yahoo! JAPAN is no longer available in the EEA and the United Kingdom

Please be informed that from Wednesday, April 6, 2022, Yahoo! JAPAN's services are no longer available to our users in the EEA (European Economic Area) and the United Kingdom, as it has been determined by Yahoo! JAPAN that providing a continuous service environment in these regions would be difficult. Please note that services listed under 'Services available after Wednesday, April 6, 2022' below will continue to be available. Please note that all Yahoo! JAPAN services are accessible after this date if access is made from Japan. We sincerely apologize for any inconvenience this may cause and thank you for your understanding. *For more information on the member states of the EEA, please click here. Services available after Wednesday, April 6, 2022 in your region

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2022年2月1日よりご案内の通り、Yahoo! JAPANは欧州経済領域（EEA）およびイギリスのお客様に継続的なサービス利用環境を提供することが困難であるとの判断から、以下の「2022年4月6日 (水)以降もご利用可能なサービス」に記載のサービスを除き、2022年4月6日 (水) 以降EEAおよびイギリスからはサービスをご利用いただけなくなりました。 なお、お客様が日本国内でYahoo! JAPANサービスをご利用になる場合は、引き続き全てのサービスをご利用いただけます。 お客様にはご不便をおかけいたしますことを深くお詫びいたします。 ※欧州経済領域（EEA）加盟国についてはこちら（外部サイト）をご覧ください。 2022年4月6日 (水) 以降もお客様の地域からご利用可能なサービス

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Please be informed that from Wednesday, April 6, 2022, Yahoo! JAPAN's services are no longer available to our users in the EEA (European Economic Area) and the United Kingdom, as it has been determined by Yahoo! JAPAN that providing a continuous service environment in these regions would be difficult. Please note that services listed under 'Services available after Wednesday, April 6, 2022' below will continue to be available. Please note that all Yahoo! JAPAN services are accessible after this date if access is made from Japan. We sincerely apologize for any inconvenience this may cause and thank you for your understanding. *For more information on the member states of the EEA, please click here. Services available after Wednesday, April 6, 2022 in your region

【応用】2つ前までさかのぼる数学的帰納法

ステップ1の $n=1$ の場合は明らかです。ステップ2では「 $a^k+b^k$ が整数なら $a^+b^$ も整数」を示せばいいですね。 $a^k+b^k$ に $a+b$ を掛ければ、 $a^$, $b^$ が出てくるので、このことを利用して変形してみましょう。 \begin & & a^+b^ \\<5pt> &=& (a^k+b^k)(a+b)-ba^k-ab^k \\<5pt> &=& (a^k+b^k)(a+b)-ab(a^+b^) \\<5pt> \endとなります。ここで、 $a^k+b^k$ は数学的帰納法の仮定から整数であることがわかります。また、 $a+b$ と $ab$ も整数であることは仮定からわかります。しかし、 $a^+b^$ がやっかいです。これが整数であるかどうかはわかりません。

$a^+b^$ が整数であることは、 $a^k+b^k$ が整数であることだけでなく、 $a^+b^$ も整数であることも使えば、示すことができます。

このように、 $n=k+1$ の1つ前「 $n=k$ の場合」だけでなく、2つ前の「 $n=k-1$ の場合」も仮定で使いたい 場合があります。その場合は、次のようにやります。

こういうステップになります。まず、ステップ1で、 $n=1,2$ の場合に成り立つことがわかります。これらと、ステップ2で $k=1$ としたものを使えば、 $n=3$ のときにも成り立つことがわかります。 $n=2,3$ の場合とステップ2から、 $n=4$ も成り立つことがわかります。少し変形したドミノ倒しになりますが、これでもすべての自然数について成り立つことが言えます。 \begin & & 1,2 \to 3 \\<5pt> & & 2,3 \to 4 \\<5pt> & & 3,4 \to 5 \\<5pt> & & 4,5 \to 6 \\<5pt> & & \quad \vdots \\<5pt> \end

2つ前までさかのぼる数学的帰納法

(i) $n=1$ のときは、仮定より $a+b$ は整数です。 $n=2$ のときは \begin a^2+b^2 &=& (a+b)^2-2ab \endとなり、 $a+b,ab$ が整数なので、 $a^2+b^2$ は整数となります。よって、 $n=1,2$ のときには、 $a^n+b^n$ は整数になります。

(ii) $n=k,k+1$ のときに $a^n+b^n$ が整数になるとします。このとき $n=k+2$ のときも $a^n+b^n$ が整数になることを示します。 \begin & & a^+b^ \\<5pt> &=& (a^+b^)(a+b)-ba^-ab^ \\<5pt> &=& (a^+b^)(a+b)-ab(a^k+b^k) \\<5pt> \endとなります。仮定より最後の式は整数だから、 $n=k+2$ のときも $a^n+b^n$ が整数になることがわかります。

(i)(ii)より、数学的帰納法から、自然数 n に対して $a^n+b^n$ が整数になることが示せました。